Pendulo simple

Daniel Lozano -Maria Pineda-Angie Garzon-Lina velasquez

Pendulo simple

Resúmen

En el siguiente informe se encontraran los datos obtenidos en la práctica de laboratorio de PENDULO SIMPLE en la cual se tomaron 70 datos, de los cuales se obtuvo el tiempo de una, dos, tres, cuatro y cinco oscilaciones estos datos se tomaban cada 5 grados hasta llegar a 70 grados con una longitud de cuerda constante, luego se obtuvieron 25 datos con un ángulo constante pero variando la longitud de la cuerda todo esto con el fin de analizar el movimiento de un péndulo simple a través de gráficas.

Palabras Clave: péndulo, laboratorio, tiempo, ángulo, longitud.

  

1.      Introducción

El fin de este experimento es analizar el comportamiento de un péndulo simple ante la variación de su largo y su masa. Para ello se miden el periodo (T) en distintas ocasiones. Esto se realiza variando dichos parámetros por separado, es decir, se realiza una medición donde se varía el largo de la cuerda.

Con los datos obtenidos, se desea realizar un análisis gráfico. El mismo se utiliza para averiguar analíticamente que relaciona dichos parámetros, el periodo de oscilación y por consiguiente determinar la aceleración de la gravedad.

2.      Objetivos

Objetivo general:

.

Objetivos Específicos:

•

3.      Marco Teórico

Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. [1]

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

1.      Introducción

El fin de este experimento es analizar el comportamiento de un péndulo simple ante la variación de su largo y su masa. Para ello se miden el periodo (T) en distintas ocasiones. Esto se realiza variando dichos parámetros por separado, es decir, se realiza una medición donde se varía el largo de la cuerda.

Con los datos obtenidos, se desea realizar un análisis gráfico. El mismo se utiliza para averiguar analíticamente que relaciona dichos parámetros, el periodo de oscilación y por consiguiente determinar la aceleración de la gravedad.

2.      Objetivos

Objetivo general:

.

Objetivos Específicos:

•

3.      Marco Teórico

Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. [1]

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

1.      Introducción

El fin de este experimento es analizar el comportamiento de un péndulo simple ante la variación de su largo y su masa. Para ello se miden el periodo (T) en distintas ocasiones. Esto se realiza variando dichos parámetros por separado, es decir, se realiza una medición donde se varía el largo de la cuerda.

Con los datos obtenidos, se desea realizar un análisis gráfico. El mismo se utiliza para averiguar analíticamente que relaciona dichos parámetros, el periodo de oscilación y por consiguiente determinar la aceleración de la gravedad.

2.      Objetivos

Objetivo general:

.

Objetivos Específicos:

•

3.      Marco Teórico

Péndulo simple

El péndulo simple (también llamado péndulo matemático o péndulo ideal) es un sistema idealizado constituido por una partícula de masa m que está suspendida de un punto fijo o mediante un hilo inextensible y sin peso. Naturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teoría.

El péndulo simple o matemático se denomina así en contraposición a los péndulos reales, compuestos o físicos, únicos que pueden construirse. [1]

Un péndulo simple se define como una partícula de masa m suspendida del punto O por un hilo inextensible de longitud l y de masa despreciable.

Si la partícula se desplaza a una posición q₀ (ángulo que hace el hilo con la vertical) y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar.

El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. Estudiaremos su movimiento en la dirección tangencial y en la dirección normal.

Las fuerzas que actúan sobre la partícula de masa m son dos

• el peso mg
• La tensión T del hilo
  
• Descomponemos el peso en la acción simultánea de dos componentes, mg·senq  en la dirección tangencial y mg·cosq en la dirección radial.
  • Ecuación del movimiento en la dirección radial
  La aceleración de la partícula es a_n=v²/l dirigida radialmente hacia el centro de su trayectoria circular.
  La segunda ley de Newton se escribe
  ma_n=T-mg·cosq
  Conocido el valor de la velocidad v en la posición angular q  podemos determinar la tensión T del hilo.
  La tensión T del hilo es máxima, cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio, T=mg+mv²/l
  Es mínima, en los extremos de su trayectoria cuando la velocidad es cero, T=mgcosq₀
  • Principio de conservación de la energía
  En la posición θ=θ₀ el péndulo solamente tiene energía potencial, que se transforma en energía cinética cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio.
• Comparemos dos posiciones del péndulo:
  En la posición extrema θ=θ₀, la energía es solamente potencial.
  E=mg(l-l·cosθ₀)
  En la posición θ, la energía del péndulo es parte cinética y la otra parte potencial
• 
  
  
  
  
  

La energía se conserva

v²=2gl(cosθ-cosθ₀)

La tensión de la cuerda es

T=mg(3cosθ-2cosθ₀)

La tensión de la cuerda no es constante, sino que varía con la posición angular θ. Su valor máximo se alcanza cuando θ=0, el péndulo pasa por la posición de equilibrio (la velocidad es máxima). Su valor mínimo, cuando θ=θ₀ (la velocidad es nula).

• Ecuación del movimiento en la dirección tangencial

La aceleración de la partícula es a_t=dv/dt.

La segunda ley de Newton se escribe

ma_t=-mg·senq

La relación entre la aceleración tangencial a_t y la aceleración angular a es a_t=a ·l. La ecuación del movimiento se escribe en forma de ecuación diferencial

 (1)

Medida de la aceleración de la gravedad

Cuando el ángulo q  es pequeño entonces, senq » q , el péndulo describe oscilaciones armónicas cuya ecuación es

q =q₀·sen(w t+j )

de frecuencia angular w²=g/l, o de periodo

La ley de la gravitación de Newton describe la fuerza de atracción entre dos cuerpos de masas M y m respectivamente cuyos centros están separados una distancia r.

La intensidad del campo gravitatorio g, o la aceleración de la gravedad en un punto P situado a una distancia r del centro de un cuerpo celeste de masa M es la fuerza sobre la unidad de masag=F/m colocada en dicho punto.

su dirección es radial y dirigida hacia el centro del cuerpo celeste.

En la página dedicada al estudio del Sistema Solar, proporcionamos los datos relativos a la masa (o densidad) y radio de los distintos cuerpos celestes.

Ejemplo:

Marte tiene un radio de 3394 km y una masa de 0.11 masas terrestres (5.98·10²⁴ kg). La aceleración g de la gravedad en su superficie es

Tenemos dos procedimientos para medir esta aceleración

• Cinemática

Se mide con un cronómetro el tiempo t que tarda en caer una partícula desde una altura h. Se supone que h es mucho más pequeña que el radio r del cuerpo celeste.

• Oscilaciones

Se emplea un instrumento mucho más manejable, un péndulo simple de longitud l. Se mide el periodo de varias oscilaciones para minimizar el error de la medida y se calculan  el periodo P de una oscilación. Finalmente, se despeja g de la fórmula del periodo.

De la fórmula del periodo establecemos la siguiente relación lineal.

Se representan los datos "experimentales" en un sistema de ejes:

• P²/(4p²) en el eje vertical y
• La longitud del péndulo l en el eje horizontal.

La pendiente de la recta es la inversa de la aceleración de la gravedad g.

Movimiento del Péndulo

El movimiento de un péndulo simple es como un movimiento armónico simple en donde la ecuación para el desplazamiento angular es

1.      Montaje Experimental

1.1. Materiales:

·         Transportador

·         Soporte Universal

·         Regla

·         Cronometro

·         Hilo

·         Masa

1.2. Procedimiento:

Primero que todo a partir de los materiales que están a disposición en el laboratorio procedimos a construir el montaje de un péndulo simple con un hilo inextensible y una masa metálica.

Seguidamente se mide la longitud del hilo, distancia entre el punto de suspensión de hilo y el centro de gravedad de la masa.

Luego se separa la masa ligeramente de la vertical dependiendo el ángulo propuesto en el experimento, dejando oscilar por un tiempo determinado y medir la cantidad de oscilaciones durante 30seg.

Repetir este procedimiento con tres diferentes angulas y tres diferentes longitudes del hilo.

2.      Resultados y Análisis

En las siguientes tablas, se presentan los resultados que se obtuvieron en la práctica de laboratorio:

Tabla No 1  Datos obtenidos por el péndulo, teniéndose en cuenta el numero de oscilaciones por un rango de tiempo en diferentes longitudes.

·         Podemos interpretar que a mayor longitud del hilo en el péndulo simple es menor  el número de oscilaciones, los cuales permanecen en un rango, los podemos encontrar por medio del promedio estándar del error típico de la toma de los datos representada en la Grafica [1].

Momento de inercia y aceleración angular

Momento de inercia y aceleración angular

Maria Pineda- Daniel Lozano - Lina velasquez-Angie Garzon

Departamento de Ciencias Básicas, Universidad Santo Tomas, Bogotá, Colombia.

Resumen

 .En esta práctica se pretendió encontrar el momento de inercia de un disco de masa constante el cual está atado por medio de una cuerda de masa despreciable  a una masa constante, que en el momento de dejarse caer esta hace que el disco comience a girar sobre una superficie, sobre la cual despreciamos la fricción. Se tomaron tres veces los datos de tiempo contra velocidad, esto por medio de un foto sensor conectado al programa Cassy se registren los datos, los datos se tomaron mientras la masa descendía hasta llegar al  punto más tenso de la cuerda. Después de un tratamiento estadístico encontremos la velocidad y el tiempo, que por medio de energías entontaremos el momento de inercia.

Palabras Clave: Inercia, conservación, fotoceldas, rozamiento, constante, disco, mínimos, cuadrados.

1.      Introducción

.Todo cuerpo tiene un momento de inercia que es la tendencia a la rotación, lo que traduce que en mientras el momento de inercia sea mayor mas difícil va ser que el cuerpo rote sobre su propio eje, y entre menor sea más fácil va ser que este cuerpo rote sobre su propio eje, el momento de inercia se relaciona mucho con el momento de una fuerza o torque que son los que tienden hacer que un cuerpo rote; el momento de inercia de un cuerpo varía dependiendo de su forma, tamaño y de la distribución de su masa sobre todo el  cuerpo, en el caso de un disco de masa constante por medio del teorema de la conservación de la energía se puede obtener el momento de inercia de este mismo, ya que este está girando sobre su propio eje, en el tenemos energía cinética rotacional y cuando la masa desciende energía potencial gravitacional.

2.      Objetivos

Objetivo general:

Determinar el momento de inercia de un disco que gira sobre su propio eje.

Objetivos Específicos:

Registrar los datos de distancia  y tiempo mientras la masa desciende y hace girar el disco sobre su propio eje.

3.      Marco Teórico Preguntas

1Explique ¿Qué es momento de inercia?, ¿Qué es momento de una fuerza?

Rta: El momento de inercia es la tendencia a la rotación de un cuerpo con respecto a su eje, entre mayor sea el momento de inercia mas difícil va ser que es cuerpo rote.

El momento de una fuerza es el producto vectorial entre el punto de aplicación de la fuerza y la dirección del punto de aplicación, es aquel que hace que el cuerpo gire o rote.

2) Realice el diagrama de cuerpo libre de un disco que rote sobre el efecto de una masa atada a una cuerda?

1.1. Materiales:

Foto sensor

Discos de masa constante

Compresor de aire

Masa constante

Rueda para registro de velocidades

Programa cassy

1.2. Procedimiento:

Lo primero es hacer el montaje para la práctica que consiste en una cuerda que en un extremo se encuentra atada a un disco y al otro extremo tiene una masa de masa constante. Consiste en enrollar la cuerda alrededor del eje del disco, para luego dejar caer la masa y hacer que el disco gire sobre su propio eje y mientras este gira por medio de la foto celda conectada al programa Cassy registrar los datos de distancia  contra tiempo, para luego por medio de los datos tomados encontrar el momento de inercia del disco.

A partir del tiempo promedio y de las distancias se calculo logaritmo natural  ambos lados de la ecuación, para así poder hacer el lineamiento deseado

Por medio de mínimos cuadrados obtenemos los valores de A y R donde obtuvimos la siguiente grafica con su ecuación

ℎ=𝐴𝑡𝐵

𝐿𝑛(ℎ)=𝐿𝑛(𝐴𝑡𝐵)

1.      Conclusiones

·         Por medio de la ecuación que relaciona el momento de inercia con la aceleración del centro de masa se logro obtener el momento de inercia y con sumatoria de fuerzas combinada con momento de una fuerza, se logro obtener el momento de inercia, donde podemos observar que es bastante grande para ser un disco pero ya que buscamos reducir la fricción al máximo, con respecto al valor teórico el momento de inercia dio mayor hallándolo de forma experimental.

·         .Por el método de mínimos cuadrados se pudo obtener la aceleración del centro de masa  

Bibliografía

[1] Serway, R.A. y Jewett, J.J, Fisica para ciencias e ingenieria, séptima edición, Cengage learning, México, DF, 2011, Pags.227-243

[2] Ohanian, H.C. y Markert, J.T, Física para ingeniería y ciencias, tercer edición, McGraw-Hill, México, DF, 209, Pags.109-124

[3] Sears, F. W. Zemansky, M.W y Young, H.D, Física Universitaria, decimo primera edición, Pearson Educacion, México, DF, 2011, Pags.339-354

 [2] Giorgetti, Marcius (1999). Formulation and Development of Mathematical Models for Engineering Problems: An experience on the Integration of Theory and the Laboratory. University of Sao Paulo, Brazil.

RUEDA DE MAXWELL

Maria Pineda

Lina Velasco 

Angie Garzon 

Daniel Lozano 

INTRODUCCIÓN

La práctica fue realizada con el fin de demostrar por medio de una Rueda de Maxwell la conservación de la energía., la cual se dejó rotar por medio de en un entrelace de cuerdas en sus dos extremos, esta se desplazó de arriba hacia abajo, Inicio su recorrido desde una foto celda primera hasta una Segunda en donde se tomaba el tiempo en que se demoraba en hacer el recorrido desde la primera hasta la segunda foto celda; las distancias que habían entre las Foto celdas se tomaron como alturas, estas alturas variaron durante 5 momentos. A partir de los datos de tiempo y alturas, se consiguió un análisis específico y comprobar la existencia y función de la conservación de la energía.

 OBJETIVOS

Objetivo general

Comprobar el principio de conservación de la energía  en  el  movimiento  de  un  cuerpo rígido que rota alrededor de un eje móvil y determinar su momento de inercia con respecto a dicho eje.

Objetivos específicos

v  comprobar el principio de la conservación de la energía mecánica

v  Encontrar     el     error     porcentual presentado durante la práctica reflejado mediante los datos obtenidos en la misma.

v  Analizar el movimiento ejercido por dicha rueda durante el trayecto rectilíneo determinado que esta desarrolla.

v  Mirar el momento de inercia a partir de la conservación de la energía

Resumen

La practica consiste en medir el tiempo que tarda en descender una rueda de una a otra fotocelda unida  a rueda esta dos hilos en sus extremos dejándose rotar,que aran que se enrolle y se desenrolle con un desplazamiento de arriba hacia abajo. Las distancias que habían entre las Foto celdas se tomaron como alturas, estas alturas  variaron  durante  5  momentos.  A partir de los datos de tiempo y alturas, se consiguió un análisis especifico y comprobar la existencia y función de la conservación de la energía.

Materials

v  Rueda de Maxwell: objeto rotador y traslador.

v  Hilo: permite enrollar la rueda para  su desplazamiento hacia arriba y hacia abajo.

v  Soporte universal: estructura que sostiene el sistema y no deja q se mueva

v  Flexometro: instrumento que mide la distancia

v  Fotoceldas: celda electrónica que captura el movimiento respecto al tiempo

v  Balanza: instrumento de medición de masas

Aceleración Angular Promedio

Procedimiento experimental

Respecto a la rotacion de un cuerpo rigido, se  trabajara  con  una  rueda  de  Maxwell  la cual tiene una funcion basicamente de girar respecto a un eje movil vertical, su trayecto sera evaluado respecto al tiempo, mediante dos fotoceldas se determinara el tiempo en que esta tardara en pasar mediante las mismas en una determinada altura durante cinco momentos diferentes respectivamente de (5,10,12.5,15,17.5,20).

MARCO TEÓRICO

Rapidez angular promedio

Se define como la razón entre el desplazamiento angular del cuerpo rígido y el intervalo de tiempo Δ𝑡 durante el que ocurre el desplazamiento.

𝑤=Δ𝜃Δ𝑡 Ec. (3)

𝑤=2𝜋𝑇 Ec. (4)

Donde T es el periodo

𝑇=𝑡# 𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜s Ec. (5)

Aceleración Angular Promedio

Se define como la razón de cambio entre la rapidez angular y el intervalo de tiempo Δ𝑡 durante el cual ocurre el cambio de la rapidez angular:

𝛼=Δ𝜔Δ𝑡 Ec. (6)

Aceleracion centripeta

A-centripeta = w^2R

Cuando un cuerpo rígido está rotando alrededor de un eje fijo, todas las partículas del cuerpo giran en torno al mismo ángulo en un intervalo de tiempo dado, y poseen la misma rapidez angular y la misma aceleración angular.

Energía Cinética

La energía de movimiento se denomina energía cinética, la energía cinética de un objeto es igual a la mitad del producto de su masa por el cuadrado de su velocidad

𝐸𝐶=12𝑚𝑣2 (7)

Energía cinética rotacional

La energía cinética de rotación es simplemente una manera conveniente de expresar la energía cinética total de todas las partículas del cuerpo rígido.

Kr(8)

Inercia Rotacional

La propiedad de un cuerpo a oponerse a cambios en su estado de movimiento de rotación se denomina inercia rotacional

Para el caso de una rueda se utiliza la siguiente ecuación:

I=1/2mr^

Energía potencial

Un objeto puede almacenar energía en virtud de su posición. A tal energía almacenar se le denomina energía potencial porque cuando la energía se encuentra en estado de almacenamiento un objeto tiene el potencial para efectuar trabajo. La energía potencial puede verse la posición elevada de un cuerpo.

Conservación de la energía

El estudio de las diferentes formas de energía y la transformación de una forma de energía en otra ha conducido a una de las grandes generalizaciones en física: la ley de la conservación de la energía.

¨La energía no se puede crear o destruir; puede transformarse de una forma a otra, pero la cantidad total de energía nunca cambia. ¨

La conservación de la energía es más evidente cuando la fricción es prácticamente nula, como más allá de la atmosfera, en el movimiento de satélites.

Esta establece que la energía total del sistema y sus alrededores no cambia. Cuando cambia la energía de un sistema, en otro lugar aparece o desaparece energía.

Análisis experimental

	VALOR	ERROR ABS
gravedad	980,36
masa	0,3668	0,1
diámetro varilla	0,13	0,005
radio varilla	0,065	0,0025
posición inicial	0,2	0,5

Tabla 1. Elementos con sus respectivas cantidades, usados dentro del experimento

En el desarrollo de la práctica de laboratorio, se usó la rueda con una masa de 366,8 gramos, pero teniendo en cuenta la incertidumbre de la báscula con la que se tomó dicha medida, se le dio una  varianza promedio  de  0.5  gr. La  tabla  también muestra que la gravedad fue tomada como constante. Los errores mostrados en la tabla están directamente relacionados con las respectivas precisiones de los aparatos de medición usados en esta.

Durante el experimento, se tomaron unos tiempos con unas longitudes diferentes, el cual dichos datos se llevaron a un análisis mediante el método de mínimos cuadrados (ver anexos), el cual arrojo un error aproximado al 39.7%. Este error es debido a la precisión con que dichos datos fueron tomados,   posiblemente   este   error   esta directamente relacionado con la calidad rozamiento y de la coordinación con que se ejercía esta rotación, e incluso en la forma con   que   se   enrollaba   y   desenrollaba   la cuerda.

Grafica 1. Comportamiento de la aceleración con respecto a la distancia, método mínimos cuadrados.

Se observa que la aceleración es lineal ya que depende de la magnitud de la altura, y del respectivo tiempo que esta emplea en la caída. La ecuación de la caída representa, la pendiente  con  la  que  esta  se  comporta. Como se observa el tiempo es directamente proporcional a la longitud  a la que la rueda de maxwell es soltada.

Grafica 2. Conservación de la energía mecánica

a medida que se  aumenta la altura, por ende la energía potencial crece, inversamente a la energía cinética( la energía mecánica es la suma existente entre las energías existentes en el sistema), en este caso cinética, potencial y rotacional.

Los puntos que se observan esparcidos o descachados de la línea de tendencia, representan el error en la medición. Además se observa que la energía potencial antes de la caída y la energía cinética después de la caída, son exactamente iguales, ya que la energía potencial se convierte en cinética a medida que la rueda pierde altura y gana velocidad.

CONCLUCIONES

v  la energia se conserva en cada punto la suma de la energia potencial y cinetica es constante.

v   durante la practica la rueda comenzo con energia potencial y termino en energia cinetica y rotacional.

v   se desprecio el rozamiento que habia con la cuerda y el fallo en las medidas del tiempo.